Enunciado

Nos exercícios 1 a 5 calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar gráfico.

f x = 1 - x 2 ,   x > 1 0 ,     x ≤ 1

Passo 1

Se a função y = f ( x ) está definida em x 1 , então as derivadas à direita e a esquerda de f em x 1 , denotadas por f + ' ( x 1 ) e f - ' ( x 1 ) são definidas por:

f + ' x 1 = lim ∆ x → 0 + ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 + ⁡ f x - f x 1 x - x 1

f - ' x 1 = lim ∆ x → 0 - ⁡ f x 1 + ∆ x - f x 1 ∆ x = lim x → x 1 - ⁡ f x - f x 1 x - x 1

Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.

Passo 2

Vamos aplicar essa definição na função da nossa questão:

f ' - 1 + = lim ∆ x → 0 + ⁡ 0 - 0 ∆ x = 0

f ' - 1 - = lim ∆ x → 0 - ⁡ - 1 - - 1 + ∆ x 2 - 1 + - 1 2 ∆ x = 2

f ' 1 + = lim ∆ x → 0 + ⁡ 1 - 1 + ∆ x 2 - 1 + 1 2 ∆ x = - 2

f ' 1 - = lim ∆ x → 0 - ⁡ 0 ∆ x = 0

O gráfico da função é:

Resposta

f ' - 1 + = 0

f ' - 1 - = 2

f ' 1 + = - 2

f ' 1 - = 0

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