Enunciado

Nos exercícios 7 a 17, calcular o gradiente do campo escalar dado.

7. f x ,   y ,   z = x y + x z + y z .

Passo 1

Então pessoal, calcular o gradiente de um campo escalar quando temos uma função bem definidinha, assim como é o nosso caso, é bem tranquilo, tá? Basta derivarmos parcialmente em relação a cada eixo e botar tudo numa soma, desse jeito aqui ó:

g r a d   f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Sendo assim, só precisamos encontrar essas derivadas e substituir em seus devidos lugares, ok? Então let’s go!

Passo 2

Para x a derivada parcial será:

∂ f ∂ x = y + z

Para y a derivada parcial será:

∂ f ∂ y = x + z

Para z a derivada parcial será:

∂ f ∂ z = x + y

Dessa forma, nosso gradiente será:

g r a d   f = ( y + z ) i → + ( x + z ) j → + ( x + y ) k →

Resposta

g r a d   f = ( y + z ) i → + ( x + z ) j → + ( x + y ) k →

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Seja U x , y = 2 x 2 + 1 2 y 2 a função energia potencial associada ao campo F → . Uma partícula de massa 1 é abandonada na posição ( 1,1 ) com velocidade nula. Admita que F → é a única força atuando
Determine todas as funções f : R 2 → R tais que a) ∂ f ∂ x = 9 x 2 y 2 - 10 x , ∂ f ∂ y = 6 x 3 y + 1 b) ∂ f ∂ x = y c o s x y + 3 x 2 - y, ∂ f ∂ y = x c o s x y - x + 3 y 2 c) ∂ f ∂ x = 2 x e x 2 + y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que