Enunciado

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

18 .   ∫ x ³ e 3 x d x  

Passo 1

Nesta questão podemos ver claramente que é um caso de integração por partes, então vamos lembrar dela:

Integração por partes:

∫ u   v ' d x = u ⋅ v - ∫ u ' v   d x

E o u escolhemos na ordem LIATE: Logaritmo

Trigonométrica inversa

Algébrica (polinômio)

Trigonométrica

Exponencial

Depois de lembrarmos a regrinha do LIATE, podemos ver que na nossa integral u = x 3 e v ' =   e 3 x , e isso é tudo o que precisamos para integrar.

Passo 2

Integrando:

∫ x 3 e 3 x d x = x 3 ⋅ e 3 x 3 - ∫ 3 x 2 ⋅ e 3 x 3 d x

                                            = x 3 ⋅ e 3 x 3 - ∫ x 2 ⋅ e 3 x d x

Encontramos uma outra integral parecida com a nossa inicial, então teremos que integrar por partes novamente.

Passo 3

∫ x 2 ⋅ e 3 x   d x = x 2 ⋅ e 3 x 3 -   ∫ 2 x ⋅ e 3 x 3 d x

                                                      = x 2 ⋅ e 3 x 3 - 2 3 ∫ x ⋅ e 3 x d x

Mais uma vez aparece uma integral onde será necessário integrar por partes.

Passo 4

∫ x ⋅ e 3 x d x = x ⋅ e 3 x 3 - ∫ 1 ⋅ e 3 x 3 d x  

                                                = x ⋅ e 3 x 3 - 1 3 ∫ e 3 x d x

                                                = x ⋅ e 3 x 3 - 1 3 ⋅ e 3 x 3 =   x e 3 x 3 - e 3 x 9

Agora que achamos a integral podemos ir substituindo nos outros resultados.

Passo 5

Substituímos o resultado final do Passo 4 na integral presente na resposta do Passo 3

∫ x 2 ⋅ e 3 x   d x = x 2 ⋅ e 3 x 3 - 2 3 ∫ x ⋅ e 3 x d x

                                                      = x 2 ⋅ e 3 x 3 - 2 3 x e 3 x 3 - e 3 x 9

                                                      = x 2 ⋅ e 3 x 3 - 2 x e 3 x 9 + 2 e 3 x 27

Agora substituímos o resultado acima na integral presente na resposta do Passo 2 que é o resultado que queremos

∫ x 3 e 3 x = x 3 ⋅ e 3 x 3 - ∫ x 2 ⋅ e 3 x d x

                                  = x 3 e 3 x 3 - x 2 e 3 x 3 + 2 x e 3 x 9 - 2 e 3 x 27

Resposta

∫ x 3 e 3 x =   x 3 e 3 x 3 - x 2 e 3 x 3 - 2 x e 3 x 9 + 2 e 3 x 27 + c

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