Calcule a integral.

∫ a r c t g 3 x d x

Passo 1

Faaaala, galera do Responde Aí!!

Pra fazermos esse exercício vamos ter que resolver através do método da integração por partes. Nesse método, vamos utilizar as duas funções do integrando e transformá-las em outro fator mais fácil de calcular.

Então, pegando uma integral da forma:

∫ f x g x d x

Iremos fazer:

u = f x e d v = g x d x

E, a partir disso, vamos encontrar a derivada da função u e determinar a função v para substituir na fórmula da integral por partes dada por:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Assim, para esse exercício temos:

∫ a r c t g 3 x d x

E supondo:

u = a r c t g 3 x   e   d v = d x

Conseguimos encontrar:

d u = 3 1 + 3 x 2 d x = 3 1 + 9 x 2 d x

E:

v = ∫ d x

Ou seja:

v = x

Passo 3

Então, substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ a r c t g 3 x d x = a r c t g 3 x x - ∫ x 3 1 + 9 x 2 d x

Que pode ser reescrita como:

∫ a r c t g 3 x d x = x a r c t g 3 x - 3 ∫ x 1 + 9 x 2 d x

Passo 4

A integral do lado direito da equação pode ser resolvida pelo método da substituição u , usando u = 1 + 9 x 2 , tal que d u = 1 8 x d x . Logo, ela será dada por:

∫ x 1 + 9 x 2 d x = ∫ 1 u d u 1 8 = 1 1 8 ∫ 1 u d u

E então:

∫ x 1 + 9 x 2 d x = 1 18 ln ⁡ u

Substituindo para a variável de origem:

∫ x 1 + 9 x 2 d x = 1 18 ln ⁡ 1 + 9 x 2

Passo 5

Portanto, a integral terá como resultado:

∫ a r c t g 3 x d x = x a r c t g 3 x - 3 1 18 ln ⁡ 1 + 9 x 2 + C

Portanto, o resultado final é:

∫ a r c t g 3 x d x = x a r c t g 3 x - 1 6 ln ⁡ 1 + 9 x 2 + C

Resposta

∫ a r c t g 3 x d x = x a r c t g 3 x - 1 6 ln ⁡ 1 + 9 x 2 + C

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