Enunciado

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

21 .   ∫ s e n 4   ( 3 x ) ⋅ cos 2 ⁡ 3 x d x

Passo 1

Para começarmos a destrinchar essa integral, vamos lembrar primeiro de uma relação trigonométrica que que usaremos nesse começo.

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Passo 2

Nossa integral fica da seguinte forma:

∫ s e n 4   ( 3 x ) ⋅ cos 2 ⁡ 3 x d x = ∫ s e n 4   3 x ⋅ 1 - s e n 2 x d x

= ∫ s e n 4   3 x - s e n 6 3 x d x

= ∫ s e n 4   ( 3 x ) d x - ∫ s e n 6 ( 3 x ) d x

Passo 3

Antes de continuarmos a resolver essa integral, vamos lembrar de outra relação trigonométrica que vai nos ajudar a resolver a integral

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ ( 2 x ) 2

Passo 4

Aplicando a relação do passo anterior na nossa integral:

∫ s e n 4   3 x d x - ∫ s e n 6 3 x d x = ∫ s e n 2   3 x 2 d x - ∫ s e n 2 3 x 3 d x

= ∫ 1 - cos ⁡ 6 x 2 2 d x - ∫ 1 - cos ⁡ 6 x 2 3 d x

Expandindo essas expressões obtemos:

∫ 1 - 2 cos ⁡ 6 x + cos 2 ⁡ 6 x 4 d x - ∫ 1 - 3 cos ⁡ 6 x + 3 cos 2 ⁡ 6 x - cos 3 ⁡ 6 x 8 d x

Abrindo a integral obtemos a seguinte soma de integrais:

∫ d x 4 - ∫ cos ⁡ 6 x 2 d x + ∫ cos 2 ⁡ 6 x 4 d x - ∫ d x 8 + ∫ 3 cos ⁡ 6 x 8 ⁡   d x - ∫ 3 cos 2 ⁡ 6 x 8 d x

+ ∫ cos 3 ⁡ 6 x 8 d x

Vamos resolver cada uma separadamente e depois juntamos tudo.

∫ d x 4 = x 4

∫ cos ⁡ 6 x 2 d x = 1 2 ∫ cos ⁡ 6 x   d x = 1 2 s e n   6 x 6 = s e n   6 x 12

∫ d x 8 = x 8

∫ 3 cos ⁡ 6 x 8 ⁡   d x = 3 8 ∫ cos ⁡ 6 x d x = 3 8 s e n   6 x 6 = 3 s e n   6 x 48

Passo 5

Você percebeu que pulei algumas integrais, mas é porque essas são mais chatas, então cada uma vai ganhar um passo para ser solucionada.

Vamos começar com:

∫ cos 2 ⁡ 6 x 4 d x

Para resolver essa integral precisamos lembrar de outra relação trigonométrica que vai nos ajudar a resolver a integral.

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2

Usando essa relação na integral:

∫ cos 2 ⁡ 6 x 4 d x = 1 4 ∫ cos 2 ⁡ 6 x   d x = 1 4 ∫ 1 + cos ⁡ ( 12 x ) 2 d x

= 1 8 ∫ ( 1 + cos ⁡ 12 x ) d x

= 1 8 ∫ d x + ∫ cos ⁡ 12 x   d x

= 1 8 x + s e n   12 x 12 = x 8 + s e n   12 x 96

Passo 6

Resolvendo:

∫ 3 cos 2 ⁡ 6 x 8 d x

Para resolver a integral, vamos usar a mesma propriedade do passo 5.

cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ ( 2 x ) 2

Usando na integral:

∫ 3 cos 2 ⁡ 6 x 8 d x = 3 8 ∫ cos 2 ⁡ 6 x   d x = 3 8 ∫ 1 + cos ⁡ ( 12 x ) 2 d x

= 3 16 ∫ ( 1 + cos ⁡ 12 x ) d x

= 3 16 ∫ d x + ∫ cos ⁡ 12 x   d x

= 3 16 x + s e n   12 x 12 = 3 x 16 + 3 s e n   12 x 192 = 3 x 16 + s e n   12 x 64

Passo 7

Resolvendo:

∫ cos 3 ⁡ 6 x 8 d x = 1 8 ∫ cos 3 ⁡ 6 x = 1 8 ∫ cos 2 ⁡ 6 x ⋅ cos ⁡ 6 x

Para continuar a resolver a integral vamos usar a relação trigonométrica do passo 1.

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x

Usando na integral:

1 8 ∫ 1 - s e n 2 6 x ⋅ cos ⁡ 6 x   d x

Agora vamos fazer uma substituição para facilitar nossa vida:

u = s e n ( 6 x )

d u = 6 cos ⁡ 6 x   d x ⇒ d u 6 = cos ⁡ 6 x   d x

Substituindo isso na integral:

1 8 ∫ 1 6 ( 1 - u 2 ) d u

= 1 48 ∫ d u - ∫ u 2 d u

= 1 48 u - u 3 3

Revertendo a substituição:

1 48 s e n ( 6 x ) - s e n 3 ( 6 x ) 3 = s e n   6 x 48 - s e n 3 6 x 144

Passo 8

Vamos então juntar os resultados dos passos 4, 5 ,6,7:

x 4 - s e n   6 x 12 + x 8 + s e n   12 x 96 - x 8 + 3 s e n   6 x 48 - 3 x 16 - s e n   12 x 64 + s e n   6 x 48 - s e n 3 6 x 144

= x 16 - 1 192 s e n   12 x - s e n 3 6 x 144

Resposta

∫ s e n 4   ( 3 x ) ⋅ cos 2 ⁡ 3 x d x = x 16 - 1 192 s e n   12 x - s e n 3 6 x 144 + c

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