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Nos exercícios de2 1 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

3 1 )   lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando x está se aproximando de 1, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f x = x - 1 x - 1 = x - 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 1 x + 1

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m x → 1   1 x + 1

Pelo Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

l i m x → 1   1 x + 1 =   l i m x → 1   1 l i m x → 1 x + 1

Pelo Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → 1   1 l i m x → 1 x + 1 = l i m x → 1   1 l i m x → 1 x + l i m x → 1   1

Usando o Teorema 2:

l i m x → 1   1 = 1

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) = L

l i m ⁡ x → 1 x = 1

l i m x → 1 x = 1 = 1

Concluindo:

l i m x → 1   1 l i m x → 1 x + l i m x → 1   1 = 1 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 = 1 2

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