Enunciado

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Nos exercícios de 15 a 20, faça o seguinte:

  1. Use uma calculadora para tabular, até quatro casas decimais, os valores de f ( x ) para os valores fixados de x . Do que f ( x ) parece tender quando x   se aproxima de c ?
  2. Encontre o ache o l i m x → c f ( x ) e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

20 )   f x = 2 -   4 - x x ; x   é - 1 ; - 0 , 5 ; - 0 , 1 ; - 0,01 ; - 0,001 ; e   x   é   1 ; 0,5 ; 0,1 ; 0,01 ;   0,001 ; c = 0

Passo 1

Na letra a precisamos achar f x para os valores de x dados. Feito isso, devemos observar de quais valores f x quando o nosso x está se aproximando de 0. Isso nos dará o limite calculado diretamente pela função. Já na letra b iremos comprovar esse resultado resolvendo l i m x → c f ( x ) pelos teoremas.

Para resolver a letra a vamos fazer duas tabelas com os valores de x   e f x .

Quando x se aproxima de 0, f ( x ) se aproxima de 0,25.

Agora devemos calcular o limite pelos teoremas para comprovar o resultado obtido diretamente.

Passo 2

Para a letra b devemos resolver:

l i m x → 0 2 -   4 - x x = l i m x → 0 2 -   4 - x x . 2 +   4 - x 2 +   4 - x = l i m x → 0 4 - (   4 - x ) x ( 2 +   4 - x ) = l i m x → 0 1 2 +   4 - x

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

Sendo assim:

l i m x → 0 1 2 +   4 - x = l i m x → 0   1 l i m x → 0   ( 2 +   4 - x )

Usando o Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m x → 0   1 l i m x → 0   ( 2 +   4 - x ) = l i m x → 0   1 l i m x → 0   2 + l i m x → 0   4 - x

Usando o Teorema 10:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L ,   e n t ã o   l i m x → a f ( x ) = L

l i m x → 0   1 l i m x → 0   2 + l i m x → 0   4 - x = l i m x → 0   1 l i m x → 0   2 + l i m x → 0   4 - x

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m x → 0   4 - x = 4 - 0 = 4

Pelo Teorema 2:

l i m x → 0 1 = 1

l i m x → 0   2 = 2

Concluindo:

l i m x → 0   1 l i m x → 0   2 + l i m x → 0   4 - x = 1 2 + 4 = 1 4

Resposta

  1. 0,25
  2. l i m x → 2 x - 2 x 2 - 4 = 1 4 = 0,25

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