Enunciado

Nos exercícios de2 1 a 39, encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

27 )   lim y → - 2 ⁡ y ³ + 8 y + 2

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando y está se aproximando de -2, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f y = y ³ + 8 y + 2 = y + 2 . ( y 2 - 2 y + 4 ) ( y + 2 ) = y 2 - 2 y + 4

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Então precisamos resolver:

l i m y → - 2   y 2 - 2 y + 4

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

l i m y → - 2   y 2 - 2 y + 4 = l i m y → - 2   y 2 - l i m y → - 2 2 y - 4

Pelo Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n  

l i m y → - 2   y = - 2

l i m y → - 2   y 2 = - 2 2 = 4

Pelo Teorema 1:

lim x → a ⁡ m x - b = m a - b

l i m y → - 2 2 y - 4 = 2 . - 2 - 4 = - 8

Concluindo:

l i m y → - 2   y 2 - l i m y → - 2 2 y - 4 = 4 - - 8 = 12

Resposta

lim y → - 2 ⁡ y ³ + 8 y + 2 = 12

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