Enunciado

Nos exercícios 1 a 18, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ - ∞ 1 e x d x

Passo 1

Faala ae, beleza??

Então, vamos só lembrar da condição da integral imprópria ser convergente ou divergente. Se temos a integral:

∫ - ∞ 1 e x d x

Para calculá-la:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 1 e x d x

Se esse limite existir e for um número finito, dizemos que a integral converge. Caso contrário, diverge.

Passo 2

Então, temos que calcular esse limite do passo 1:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 1 e x d x

Mas, antes disso, vamos calcular o valor dessa integral:

∫ a 1 e x d x = e x a 1 = e - e a

Certo?

Passo 3

Substituindo esse valor no limite:

lim a → - ∞ ⁡ e - e a

Ao calcular o limite, vamos nos atentar ao sinal! Temos - ∞ , então, teremos um expoente negativo no e a , que vai leva-lo a zero:

lim a → - ∞ ⁡ e - e - ∞ = lim a → - ∞ ⁡ e - 1 e ∞

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 1 e x d x = lim a → - ∞ ⁡ e - e a = e

Beleza?? Então, pela definição do passo 1, essa integral converge para e .

Resposta

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 1 e x d x = e

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