Enunciado

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

37. ∑ n = 1 ∞ - 3 n n !

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos usar o teste da razão para esse problema, supondo que nós temos uma série ∑ a n . Agora considerando que o limite é igual a

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Se L < 1 , a série é divergente, se L = 1 , o teste não é usável, então para esse caso é melhor tentar outro teste.

Passo 2

No problema dado, nós temos que

a n = - 3 n n !   e   a n + 1 = - 3 n + 1 n + 1 !

Com isso, nós temos que

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 n + 1 ! - 3 n n !

Desenvolvendo os termos, nós temos que

L = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 n + 1 ! × n ! - 3 n = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 n + 1 n ! × n ! - 3 n

Um pouco mais (sim, cabe sim o meme dos 300 aqui rsrs!)

L = lim n → ∞ ⁡ - 3 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1

Com isso, nós temos que

L = 3 n + 1 = 3 ∞ = 0 < 1

Portanto, a série dada converge absolutamente pelo Teste da Razão.

Resposta

Converge absolutamente!

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.20- ∑ n = 2 ∞ - 1 n ( ln ⁡ n ) n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.24- ∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t gn n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.22- ∑ n = 2 ∞ - 1 n n ln ⁡ n
37- Prove que, se ∑ a n for absolutamente convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n ≤ ∑ n = 1 ∞ a n
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.30. ∑ n = 0 ∞ arctan ⁡ n n