Enunciado

Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

5. sen ⁡ π n 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Seja a n ser a sequência definida por a n = sen ⁡ π n 2 . Nós definimos algumas sequências subsidiárias, já que a função seno é periódica, com isso, nós temos que

a 2 n = a 2 , a 4 , a 6 , … = sen ⁡ 2 π 2 , sen ⁡ 4 π 2 , sen ⁡ 6 π 2 , … = 0,0 , 0 , …

a 4 n + 1 = a 5 , a 9 , a 13 , … = sen ⁡ 5 π 2 , sen ⁡ 9 π 2 , sen ⁡ 13 π 2 , … = 1 , 1 , 1 , …

a 2 n = a 3 , a 7 , a 11 , … = sen ⁡ 3 π 2 , sen ⁡ 7 π 2 , sen ⁡ 11 π 2 , … = - 1 , - 1 , - 1 , …

Claramente { a 2 n } converge para zero, { a 4 n + 1 } converge para um e { a 4 n - 1 } converge para menos um. Sabemos que se uma sequência { a n } convergente, então todas as suas subsequências são convergentes e convergem para o mesmo limite. Aqui todas as subsequências não convergem para o mesmo número real. Assim, a sequência dada { a n } diverge.

Resposta

a n   d i v e r g e ,   p o r   s e r   u m a   s e q u ê n c i a   o s c i l a n t e

sin ⁡ π n 2 = 0,1 , 0 , - 1,0 , 1,0 , - 1 , …  

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Teste a convergência ou divergência das séries.6- ∑ n = 1 ∞ 3 n 1 + 8 n n
Teste a convergência ou divergência das séries.5- ∑ n = 1 ∞ - 3 n + 1 2 3 n
Teste a convergência ou divergência das séries.3- ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + n
Teste a convergência ou divergência das séries.4- ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 n 2 + n
Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (cos ((n)/(2)))/(n^2 + 4 n)