Enunciado

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

30. ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para esse caso, vamos considerar o teste da integral, pensa o seguinte, considerando a seguinte série,

∑ n = k ∞ f n

Onde k é qualquer número inteiro, esta série só irá convergir caso a seguinte integral também seja convergente

∫ k ∞ f x   d x

Claro, como via de regra, f ( x ) é não negativa no intervalo [ k , ∞ ) e f ( x ) é uma função monotonicamente decrescente no intervalo [ k , ∞ ) . Com isso, já podemos notar que 1 x ln ⁡ x 2 é aplicável para o teste da integral, já que é uma função positiva e decrescente para x > 2 .

Passo 2

A série dada irá convergir se e somente se a seguinte integral convergir.

∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x 2

Substituindo ln ⁡ x = u e d x x = d u , os limites de integração irão mudar

∫ ln ⁡ 2 ∞ d u u 2 = - 1 u ln ⁡ 2 ∞

Portanto, temos o seguinte resultado

∫ ln ⁡ 2 ∞ d u u 2 = - 1 ∞ + 1 ln ⁡ 2 = 1 ln ⁡ 2

Portanto, a série dada converge por teste da integral. Como todos os termos da série são positivos, a série absoluta é igual à série descrita no problema. Portanto, podemos dizer que a série converge absolutamente

Resposta

Converge absolutamente!

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