Enunciado

Teoria e exemplos: Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergem, e quais divergem? Justifique suas respostas.

118. a n = 2 n -   1 3 n

Passo 1

Fala, galera! Ficaram com dúvida nessa questão? Vem comigo que a gente Responde Aí juntos!

Para testar a convergência da sequência, precisamos testar se ela é limitada e monotônica. Caso sim, então ela converge.

Vamos começar testando se a sequência é limitada. Reescrevendo a sequência, ficamos com

a n = 2 n -   1 3 n = 2 3 n - 1 3 n

Passo 2

Agora, vamos notar que

0 < 2 3 < 1

Quando elevamos qualquer número menor que 1 a alguma potência, o resultado também é menor que 1 :

0 < 2 3 n < 1

Da mesma forma, para 1 3 n , temos

0 < 1 3 n < 1

Multiplicando a última desigualdade por - 1 e somando 2 3 n , obtemos

- 1 < - 1 3 n < 0

2 3 n - 1 < 2 3 n - 1 3 n < 2 3 n

Agora, relembrando a primeira desigualdade, temos que 2 3 n < 1 e - 1 < 2 3 n - 1 . Então,

- 1 < 2 3 n - 1 3 n < 1

- 1 < a n < 1

Ou seja, a sequência é limitada.

Passo 3

Falta só verificar a monotonicidade. Seguindo o mesmo raciocínio das questões anteriores, temos que

a n + 1   =   2 n + 1 -   1 3 n + 1

e

a n = 2 n -   1 3 n  

Agora, vamos fazer a diferença entre a n + 1 e a n :

a n + 1 - a n = 2 n + 1 -   1 3 n + 1   -   2 n -   1 3 n   = 3 n   ⋅   2 n + 1 -   3 n     -   ( 3 n + 1 ⋅   2 n   -   3 n + 1 )   3 n + 1 3 n  

⇒ a n + 1 - a n = 2 ⋅ 6 n -   3 n     -   3 ⋅ 6 n   -   3 n + 1 )   3 2 n + 1   = -   6 n +   2 ⋅   3 n   3 2 n + 1 = -   2 n +   2   3 n + 1   ≤ 0  

a n + 1 - a n = -   2 n +   2   3 n + 1   ≤ 0  

⇒ a n + 1 ≤   a n  

Logo, podemos concluir que a sequência é decrescente e a sequência será monotônica. Além disso, ela é limitada e, por isso, converge.

Resposta

Converge.

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