Enunciado

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

38. ∑ n = 1 ∞ 2 n 3 n n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início do problema, observe que a série dada é uma série com termos não negativos porque n é um número natural, então

2 n 3 n n n = 2 n 3 n n n

Por esta razão, a convergência da série ∑ a n também é absolutamente convergente porque

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ a n   ( 1 )

Observe que devido a (1), a série não pode convergir condicionalmente (porque ela converge condicionalmente se a série ∑ a n diverge e a série ∑ a n converge). Que teste para a convergência de termos não negativos podemos usar para determinar a convergência da série ∑ a n ​?

Passo 2

Desde que a n tem um expoente n na nossa notação, então, nós usaremos o teste do raíz, que nos diz o seguinte, deixa ∑ a n seja uma série arbitrária em que o limite existe

lim n → ∞ ⁡ a n n = ρ   ( 2 )

O seguinte se aplica

S e   ρ < 1 ,   a   s é r i e   c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e

S e   ρ > 1   o u   ρ   é   i n f i n i t o ,   a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e

S e   ρ = 1 ,   e n t ã o   o   t e s t e   é   i n c o n c l u s i v o

Se nós concluímos que

a n = 2 n 3 n n n

No limite (2), nós temos que

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ 2 n 3 n n n n = lim n → ∞ ⁡ 2 ∙ 3 n n n

Com isso, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ 6 n = 0

Como ρ = 0 < 1 , então de acordo com o teste da raíz, a série ∑ a n converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente!

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 2 ∞ - 1 n ln ⁡ n
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n
Os termos de uma serie são definidos recursivamente pelas equações: a 1 = 2a n + 1 = 5 n + 1 4 n + 3 a n Determine de ∑ a n converge ou diverge.
Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
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