Enunciado

Nos Exercícios 25-40, determine se as séries convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Justifique suas respostas.

27. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Porque se a série é absolutamente convergente, então a série é convergente.

Mas se a série não for absolutamente convergente, em seguida, verificaremos se a série é convergente ou divergente.

Portanto, a série dada será absolutamente convergente quando a série seguinte for convergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n n

Esta é uma série do tipo p, como p = 0,5 < 1 , então, ela é uma série divergente, como nota, tenha em mente que esse termo p pode ser absolutamente qualquer número real (qualquer mesmo!), o critério para ser divergente é que ele seja menor que 1, satisfez isso, é divergente 😊. Portanto, a série dada NÃO é absolutamente convergente

Passo 2

Agora, vamos analisar a seguinte série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Vamos analisar o termo dentro do somatório

u n = - 1 n n = 1 n

Pelo teste da série alternada, nós temos que ver duas situações

lim n → ∞ ⁡ u n = 0

u n   é   n ã o   c r e s c e n t e   a p ó s   a l g u m   n ú m e r o   n a t u r a l   N

Para provar que u n não é crescente, vamos começar pelo seguinte termo

n ≤ n + 1

Fazendo algumas manipulações, obtemos que

n ≤ n + 1 → 1 n ≥ 1 n + 1

Com isso, temos que

u n ≥ u n + 1

Da desigualdade anterior, concluímos que un não é crescente. Vamos verificar o que acontece com un′ quando n se aproxima do infinito. Ou seja, quando n se aproxima do infinito, então n

vai para o infinito e 1n 1 vai para 0:

Resposta

Resposta nos passos

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