Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 1 + n n 2

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

a n = 1 + n n 2 = 1 n 2 + 1 n

Tal sequência é positiva para todo n, vamos definir a função f n = a n e encontrar sua derivada:

f ' n = 1 n 2 + 1 n ' =   =   - 2 n 3 - 1 n 2

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência a n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 n 2 + 1 n = 0

Como a sequência a n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Entretanto, a primeira parcela da série ∑ 1 n 2 é uma p-série convergente com p > 1. Já a segunda parcela da série ∑ 1 n é uma p-série divergente com p = 1. E a soma de uma série convergente e uma série divergente resulta numa série divergente.

Sendo assim a série é condicionalmente convergente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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