Enunciado

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 n + 3

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar a sequência, dado por:

u n = 1 n + 3

que é positiva para todo n, vamos definir a função f n = u n e encontrar sua derivada:

f ' n = 1 n + 3 ' =   - ( n + 3 ) - 2 =   - 1 n + 3 2

Como a derivada é negativa para todo valor de n, temos que a sequência u n é decrescente.

Por fim, calculando o limite infinito de u n temos:

lim n →  ∞ ⁡ 1 n + 3 = 0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge.

Entretanto, a série não converge absolutamente porque 1 n + 3 <   1 n e através do teste da comparação, como ∑ 1 n é uma p-série divergente então ∑ 1 n + 3 também diverge. Logo, a série converge condicionalmente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Converge condicionalmente.

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Aproxime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais. ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n !
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n ( n + 1 - n )
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ ( n cos ⁡ n π ) 2 n
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 10 n
2-20. Teste a série quanto a convergência ou divergência - 2 5 + 4 6 - 6 7 + 8 8 - 10 9 + …