Enunciado

Nos Exercícios 1-22, encontre ∂ƒ/∂x e ∂ƒ/∂y

ƒ x ,   y = ∫ x y g t d t (g contínua para todo t)

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora fazer umas derivadas parciais, mas antes, devemos nos atentar a um conceito.

A derivada e integral são operações inversas, então se integrarmos a função g, e depois derivar, ela vai continuar sendo g.

Portanto, a única coisa que vai alterar, é qual o valor de, que vai depender, ou de x, ou de y, bora resolver então.

Passo 2

Primeiro vamos derivar em x,

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ∫ x y g t d t

y é constante, então podemos descartar, pois a função g(t) não tem y.

∂ f ∂ x = - g ( x )

O sinal negativa aparece pois x é o limite inferior da integral, então é o único ponto em que a função vai ser alterada.

Passo 3

Agora em y,

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ∫ x y g t d t

Vamos retirar a constante x agora,

∂ f ∂ y = g ( y )

Bora pro próximo.

Resposta

∂ f ∂ x = - g ( x ) e ∂ f ∂ y = g ( y ) .

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