Enunciado

Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

f x ,   y = 4 x - 8 x y + 2 y + 1 na placa triangular limitada pelas retas x = 0 , y = 0 , x + y = 1 no primeiro quadrante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.

Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado limitado D :

  1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .
  2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .
  3. O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função f dada no enunciado:

f x = 4 - 8 y

f y = 2 - 8 x

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

4 - 8 y = 0                   ( I ) 2 - 8 x = 0               ( I I )

Na equação (I), temos:

8 y = 4 → y = 1 2

E pela equação (II):

8 x = 2 → x = 1 4

Sendo assim, o ponto crítico é 1 4 , 1 2 . O valor de f neste ponto é:

f 1 4 , 1 2 = 4

Passo 2

No ponto (b), consideramos um lado do triângulo de cada vez, que é constituído por três segmentos de reta L 1 , L 2 e L 3 , de acordo com a Figura:

Em L 1 , temos y = 0 . A função:

f x ,   y = f x ,   0 = 4 x + 1

E definida no intervalo fechado 0 ≤ x ≤ 1 . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:

  • x = 0 onde f 0 ,   0 = 1 ;
  • x = 1 onde f 1 ,   0 = 5 .
  • Passo 3

    No segmento L 2 , temos x = 0 :

    f x ,   y = f 0 ,   y = 2 y + 1

    Definido por 0 ≤ y ≤ 1 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 0 ,   0 = 1 ;
  • f 0 ,   1 = 3 .

Passo 3

Já levamos em consideração os valores de f nas extremidades de L 3 , assim precisamos somente examinar os pontos interiores de L 3 . Com x + y = 1 , temos:

y = 1 - x

Logo:

f x , y = f x ,   1 - x = 4 x - 8 x 1 - x + 2 1 - x + 1

= 8 x 2 - 6 x + 3

Fazer f ' x ,   1 - x = 1 6 x - 6 = 0 , resulta:

16 x = 6

x = 3 8

Nesse valor de x :

y = 1 - 3 8 = 5 8

Sendo assim, é o ponto f 3 8 , 5 8 = 15 8 .

Com os pontos encontrados, concluímos que o valor máximo é 5 , que f assume em 1 ,   0 e o mínimo é 1 , que f assume em 0 ,   0 .

Resposta

  • Mínimo absoluto: 1 em f 0 ,   0 ;
  • Máximo absoluto: 5 em 1 ,   0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.43. z = y 3 - x 3 - 3 x y ; - 1 ≤ x ≤ 1 e - 2 ≤ y ≤ 2 .
Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.42. z = x 3 + y 3 - 3 x y ; 0 ≤ x ≤ 3 e - 1 ≤ y ≤ 3 .
Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.36. f x ,y = x 2 + y 2 + 1 ; no círculo x 2 + y 2 ≤ 1 .
Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.37. z = x 2 + y 2 - 2 x - 2 y ; no triângulo de vértices 0 ,0 ,3 ,0 e 0 ,3 .
Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.39. z = x y ; no círculo x 2 + y 2 ≤ 1 .