Enunciado

Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

f x ,   y = 2 x 2 - 4 x + y 2 - 4 y + 1 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0 , y = 2 , y = 2 x no primeiro quadrante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.

Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado limitado D :

  1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .
  2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .
  3. O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função f dada no enunciado:

f x = 4 x - 4 = 4 ( x - 1 )

f y = 2 y - 4 = 2 ( y - 2 )

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

x - 1 = 0         ( I ) y - 2 = 0     ( I I )

Da equação (I), temos:

x = 1

E da equação (II):

y = 2

Sendo assim, o único ponto crítico existente é 1 ,   2 . O valor de f neste ponto é:

f 1 ,   2 = - 5

Passo 2

No ponto (b), consideramos um lado do triângulo de cada vez, que é constituído por 3 segmentos de reta L 1 , L 2 e L 3 , de acordo com a Figura:

Em L 1 , temos x = 0 . A função:

f x ,   y = f 0 ,   y = y 2 - 4 y + 1

Pode ser considerada uma função y definida no intervalo fechado 0 ≤ y ≤ 2 . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:

  • y = 0 onde f 0 ,   0 = 1 ;
  • y = 2 onde f 0 ,   2 = - 3
  • E nos pontos interiores onde f ' 0 ,   y = 0 , o único ponto interior é:

    f ' 0 ,   y = 2 y - 4 = 0 → y = 2

    Que é o mesmo ponto encontrado anteriormente 0 ,   2 .

    Passo 3

    No segmento L 2 , temos y = 2 :

    f x ,   y = f x ,   2 = 2 x 2 - 4 x + 2 2 - 4 ∙ 2 + 1

    f x ,   2 = 2 x 2 - 4 x - 3

    Sabemos pela simetria de f em x e y , e que 0 ≤ x ≤ 1 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 0 ,   2 = - 3 ;
  • f 1 ,   2 = - 5 .

Passo 3

Já levamos em consideração os valores de f nas extremidades de L 3 , assim precisamos somente examinar os pontos interiores de L 3 . Com y = 2 x , temos:

f x , y = f x ,   2 x = 2 x 2 - 4 x + 2 x 2 - 4 ∙ 2 x + 1

= 2 x 2 - 4 x + 4 x 2 - 8 x + 1

= 6 x 2 - 12 x + 1

Fazer f ' x ,   2 x = 12 x - 12 = 0 , resulta:

12 x = 12

x = 1

Nesse valor de x :

y = 2 x = 2

Sendo assim, é o candidato que já vimos anteriormente 1 ,   2 .

Então, agora conseguimos relacionar os candidatos: 1 , - 3 e - 5 . O máximo é 1 , que f assume em 0 ,   0 e o mínimo é - 5 , que f assume em 1 ,   2 .

Resposta

  • Máximo absoluto: 1 em 0 ,   0 ;
  • Mínimo absoluto: - 5 em 1 ,   2 .

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