Enunciado

Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

f x ,   y = 4 x - x 2 cos ⁡ y na placa retangular 1 ≤ x ≤ 3 , - π / 4 ≤ y ≤ π / 4 (veja a figura a seguir).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.

Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado limitado D :

  1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .
  2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .
  3. O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função f dada no enunciado:

f x = - 2 x - 2 cos ⁡ y

f y = x - 4 x sen ⁡ y

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

4 - 2 x cos ⁡ y = 0                   ( I ) x 2 - 4 x sen ⁡ y = 0               ( I I )

Na equação (I), temos:

4 - 2 x = 0 → x = 2

Substituindo na equação (II):

2 2 - 4 ∙ 2 sen ⁡ y = 0

y = 0

Sendo assim, o ponto crítico é 2 ,   0 . O valor de f neste ponto é:

f 2 ,   0 = 4

Passo 2

No ponto (b), consideramos um lado do retângulo de cada vez, que é constituído por quatro segmentos de reta L 1 , L 2 , L 3 e L 4 , de acordo com a Figura:

Em L 1 , temos y = - π 4 . A função:

f x ,   y = f x ,   - π 4 = 4 x - x 2 cos ⁡ - π 4

= 4 x - x 2 2

E definida no intervalo fechado 1 ≤ x ≤ 3 . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:

  • x = 1 onde f 1 ,   - π 4 = 3 2 2 ;
  • x = 3 onde f 3 ,   - π 4 = 3 2 2 .
  • E nos pontos interiores, temos:

    f ' x ,   - π 4 = 2 x - 2 = 0

    x = 2

    Então o ponto interior é o que já vimos f 2 ,   - π 4 = 2 2 .

    Passo 3

    No segmento L 2 , temos x = 1 :

    f x ,   y = f 1 ,   y = 4 ∙ 1 - 1 2 cos ⁡ y

    = 3 cos ⁡ y

    Definido por - π 4 ≤ y ≤ π 4 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 1 ,   - π 4 = 3 2 2 ;
  • f 1 ,   π 4 = 3 2 2 .
  • E o ponto interior:

    f ' 1 ,   y = - 3 sen ⁡ y = 0

    y = 0

    É f 1 ,   0 = 3 .

    Passo 4

    Sobre L 3 temos y = π 4 :

    f x , y = f x ,   π 4 = 4 x - x 2 cos ⁡ π 4

    = 4 x - x 2 2

    Definido por 1 ≤ x ≤ 3 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 1 ,   π 4 = 3 2 2 ;
  • f 3 ,   π 4 = 3 2 2 .
  • E para descobrirmos o ponto interior, temos:

    f ' x ,   π 4 = 2 x - 2 = 0

    x = 2

    Então o ponto interior é o que já vimos f 2 ,   π 4 = 2 2 .

    Passo 5

    E por último, sobre L 4 com x = 3 :

    f x , y = f 3 ,   y = 4 ∙ 3 - 3 2 cos ⁡ y

    = 3 cos ⁡ y

    Definido por - π 4 ≤ y ≤ π 4 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 3 ,   - π 4 = 3 2 2 ;
  • f 3 ,   π 4 = 3 2 2 .

E o ponto interior:

f ' 3 ,   y = - 3 sen ⁡ y = 0

y = 0

É f 3 ,   0 = 3 .

Dentre todos os pontos encontrados, podemos observar que o valor máximo é 4 que é f 2 ,   0 e o mínimo é 3 2 2 que são os pontos f 1 ,   - π 4 , f 1 ,   π 4 , f 3 ,   - π 4 , f 3 ,   π 4 .

Resposta

  • Mínimo absoluto: 3 2 2 em f 1 ,   - π 4 , f 1 ,   π 4 , f 3 ,   - π 4 , f 3 ,   π 4 ;
  • Máximo absoluto: 4 em 2 ,   0 .

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