Enunciado

Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

D x ,   y = x 2 - x y + y 2 + 1 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0 , y = 4 , y = x no primeiro quadrante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.

Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado limitado D :

  1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .
  2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .
  3. O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função f dada no enunciado:

D x = 2 x - y

D y = - x + 2 y = 2 y - x

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

2 x - y = 0         ( I ) 2 y - x = 0     ( I I )

Da equação (I), temos:

y = 2 x

Substituindo na equação (II):

2 ∙ 2 x - x = 0

x = 0

Voltando na equação (I), temos que y = 0 . Sendo assim, o único ponto crítico existente é 0 ,   0 . O valor de D neste ponto é:

D 0 ,   0 = 1

Passo 2

No ponto (b), consideramos um lado do triângulo de cada vez, que é constituído por 3 segmentos de reta L 1 , L 2 e L 3 , de acordo com a Figura:

Em L 1 , temos x = 0 . A função:

D x ,   y = f 0 ,   y = y 2 + 1

Pode ser considerada uma função y definida no intervalo fechado 0 ≤ y ≤ 4 . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:

  • y = 0 onde D 0 ,   0 = 1 ;
  • y = 4 onde D 0 ,   4 = 17
  • E nos pontos interiores onde D ' 0 ,   y = 0 , o único ponto interior é:

    D ' 0 ,   y = 2 y - x = 0 → y = 0

    Que é o mesmo ponto encontrado anteriormente D 0 ,   0 .

    Passo 3

    No segmento L 2 , temos y = 4 :

    D x ,   y = D x ,   4 = x 2 - 4 x + 4 2 + 1

    D x ,   2 = x 2 - 4 x - 17

    Sabemos pela simetria de D em x e y , e que 0 ≤ x ≤ 4 , que os candidatos nesse segmento são:

  • D 0 ,   4 = 17 ;
  • D 4 ,   4 = 17 .

Passo 3

Já levamos em consideração os valores de D nas extremidades de L 3 , assim precisamos somente examinar os pontos interiores de L 3 . Com y = x , temos:

D x , y = D x ,   x = x 2 - x x + x 2 + 1

= x 2 + 1

Fazer D ' x ,   x = 2 x = 0 , resulta:

x = 0

Nesse valor de x :

y = 0

Sendo assim, é o candidato que já vimos anteriormente 0 ,   0 .

Então, agora conseguimos relacionar os candidatos: 1 e 17 . O mínimo é 1 , que D assume em 0 ,   0 e o máximo é 17 , que D assume em 0 ,   4 e 4 ,   4 .

Tchau pessoal, até mais!

Resposta

  • Mínimo absoluto: 1 em 0 ,   0 ;
  • Máximo absoluto: 17 em 0 ,   4 e 4 ,   4 .

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