Enunciado

Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

f x ,   y = 48 x y - 32 x 3 - 24 y 2 na placa retangular 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.

Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado limitado D :

  1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .
  2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .
  3. O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função f dada no enunciado:

f x = 48 y - 96 x 2 = 48 y - 2 x 2

f y = 48 x - 48 y = 48 x - y

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

y - 2 x 2 = 0         ( I ) x - y = 0               ( I I )

Da equação (II), temos:

y = x

Substituindo na equação (I):

x - 2 x 2 = 0

- x ( 2 x - 1 ) = 0

Então temos:

x = 0 x = 1 2

Voltando na equação (II) para encontrarmos o valor de y :

  • Para x = 0 :
  • y = 0

  • E para x = 1 2 :

y = 1 2

Sendo assim, os pontos críticos existente são 0 ,   0 e 1 2 , 1 2 . O valor de f nesses pontos são:

f 0 ,   0 = - 10

f 1 2 , 1 2 = 2

Passo 2

No ponto (b), consideramos um lado do retângulo de cada vez, que é constituído por quatro segmentos de reta L 1 , L 2 , L 3 e L 4 , de acordo com a Figura:

Em L 1 , temos y = 0 . A função:

f x ,   y = f x ,   0 = - 32 x 3

E definida no intervalo fechado 0 ≤ x ≤ 1 . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:

  • x = 0 onde f 0 ,   0 = 0 ;
  • x = 1 onde f 1 ,   0 = - 32 .
  • E nos pontos interiores, temos:

    f ' x ,   0 = - 96 x 2 = 0

    x = 0

    Então o ponto interior é o que já vimos f 0 ,   0 = 0 .

    Passo 3

    No segmento L 2 , temos x = 1 :

    f x ,   y = f 1 ,   y = 48 y - 32 - 24 y 2

    Definido por 0 ≤ y ≤ 1 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 1 ,   0 = - 32 ;
  • f 1 ,   1 = - 8 .
  • E o ponto interior:

    f ' 1 ,   y = 48 - 48 y = 0

    y = 1

    É f 1 ,   1 = - 8 .

    Passo 4

    Sobre L 3 temos y = 1

    f x , y = f x ,   1 = 48 x - 32 x 3 - 24

    Definido por 0 ≤ x ≤ 1 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 0 ,   1 = 11 ;
  • f 1 ,   1 = - 24 .
  • E para descobrirmos os pontos interiores, temos:

    f ' x ,   1 = 48 - 96 x 2 = 0

    96 x 2 = 48

    x = ± 1 2

    Então temos os pontos f - 1 2 ,   1 = - 1,37 e f 1 2 ,   1 = - 46,6 .

    Passo 5

    E por último, sobre L 4 com x = 0 :

    f x , y = f 0 ,   y = - 24 y 2

    Definido por 0 ≤ y ≤ 1 , que os candidatos nesse segmento são:

  • f 0 ,   0 = 0 ;
  • f 0 ,   1 = - 24 .

E os pontos interiores são:

f ' 0 ,   y = - 48 y = 0

y = 0

Que é um ponto que já encontramos anteriormente: T 0 ,   0 = 0 .

Dentre todos os pontos encontrados, podemos observar que o valor máximo é 2 que é f 1 2 , 1 2 e o mínimo é - 46,6 que é ponto f 1 2 ,   1 .

Tchau pessoal.

Resposta

  • Mínimo absoluto: - 46,6 em 1 2 ,   1 ;
  • Máximo absoluto: 2 em 1 2 , 1 2 .

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