Enunciado

5. De uma longa folha de alumínio com 12 cm de largura, deseja-se construir uma calha , dobrando-se os lados da folha para cima e formando duas abas de mesmo tamanho , de modo que essas abas façam o mesmo ângulo com a horizontal . Qual a largura das abas e que ângulo elas devem fazer com a horizontal a fim de que a capacidade de cada calha seja máxima ?

Passo 1

Por mais que pareça estranho nesse enunciado. A calha tem o seguinte formato

Temos então em mãos as seguintes equações

p = 2 a + b = 12

A area podemos usar relações de triângulos para poder concluir que

A = 24 - 4 a + 2 acos ⁡ θ a sen ⁡ θ   2  

A = 12 - 2 a + acos ⁡ θ a sen ⁡ θ  

Passo 2

O que vamos fazer agora é derivar A em função de a. E como é uma otimização vamos igualar a zero

∂ A ∂ a = sen ⁡ θ 12 - 4 a + 2 acos ⁡ θ = 0

Entao

sen ⁡ θ = 0

Ou

12 - 4 a + 2 acos ⁡ θ = 0

Se o ângulo for zero, não temos solução. Então só nos resta a segunda opção

12 - 4 a + 2 acos ⁡ θ = 0

a =   - 6 cos ⁡ θ - 2

Como temos a relação de perímetro la em cima podemos dizer que

b = 12 + 12 cos ⁡ θ - 2

Passo 3

Vamos agora substituir esse valor de a na nossa area e derivar em relação ao ângulo e novamente igualar a zero

A = 12 - 2 a + acos ⁡ θ a sen ⁡ θ    

A = 12 + 2 6 cos ⁡ θ - 2 - 6 cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ - 6 cos ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ    

A = 12 cos ⁡ θ - 2 + 12 - 6 cos ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 - 6 cos ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ    

A = 6 cos ⁡ θ - 1 2 cos ⁡ θ - 2 - 6 cos ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ    

A = 6 - 6 cos ⁡ θ - 2 sen ⁡ θ    

A = 36 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 2    

Com isso nossa derivada será

∂ A ∂ θ = - 36 cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - 2 - sen ⁡ θ ⋅ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 2 = 0    

cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - 2 - sen ⁡ θ ⋅ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 2 2 = 0

cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ - 2 - sen ⁡ θ ⋅ - sen ⁡ θ = 0

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ = 0

2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = 1 2

θ = 60 º

Passo 4

Vamos descobrir a com isso

a =   - 6 cos ⁡ θ - 2

a =   - 6 1 2 - 2

a = 4

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

θ = 60 º

a = 4

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