Enunciado

Uma função f é definida por

f x = 1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + …

isto é, seus coeficientes são c 2 n = 1 e c 2 n + 1 = 2 para todo n ≥ 0 . Ache o intervalo de convergência e encontre uma fórmula explícita para f x .

Passo 1

Pessoal, perceba que podemos reescrever f x assim:

f x = 1 + x 2 + x 4 + … + 2 x + x 3 + x 5 + …

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1

Ambas as séries convergem para x < 1 e divergem para x ≥ 1 , de modo que podemos afirmar que a série resultante que define f x também converge e diverge nesses valores, ou seja, seu intervalo de convergência é - 1 ,   1 .

Passo 2

Agora bora encontrar uma fórmula explícita pra f x ? Vamos continuar usando aquelas séries:

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1

Perceba que ambas são séries geométricas, então podemos escrever suas somas a partir do primeiro termo e razão:

∑ n = 0 ∞ x 2 n = a 1 1 - q = 1 1 - x 2

∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 = x 1 - x 2

Então, a fórmula fica assim:

f x = 1 1 - x 2 + 2   .     x 1 - x 2

f x = 1 + 2 x 1 - x 2

Resposta

- 1 ,   1

f x = 1 + 2 x 1 - x 2

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