Enunciado

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a .

28. f x = 1 1 - x 3 ,   a = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos relembrar como é definida a série de Taylor em x = 0

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 ∙ x + f ' ' 0 2 ! ∙ x 2 + … + f n 0 n ! ∙ x n + … ( 1 )

Onde a função f tem derivadas de todas as ordens em torno de x = 0 . No início do problema, vamos verificar se a função f é contínua em todos os pontos em torno de x = 0 . A função f é contínua para todo número real x , exceto para x = 1 . Portanto, a função f tem todas as derivadas contínuas em torno de x = 0 .

Vemos pela fórmula (1) que para encontrar a série de Maclaurin; basta determinar a k-ésima derivada da função f . Para determinar mais facilmente a k-ésima derivada da função f , escreveremos a função f de modo que x seja precedido por + 1 , não - 1 (para facilitar a diferenciação):

f x = 1 - x - 1 3 = - 1 x - 1 3 = - x - 1 - 3     ( 2 )

Se diferenciarmos a expressão (2) em relação à variável x , obteremos f ' :

f ' x = - - 3 x - 1 - 4 = - 1 2 ∙ 3 x - 1 - 4

Usando a primeira derivada obtida da função f, determinamos a segunda derivada:

f ' ' x = - 1 2 ∙ 3 ∙ - 4 x - 1 - 5 = - 1 3 ∙ 3 ∙ 4 x - 1 - 5

Passo 2

Concluímos que a notação da k-ésima derivada da função f é igual a:

f k x = - 1 k + 1 ∙ k + 2 ! 2 x - 1 k + 3

Incluindo o termo 0 na k-ésima derivada da função f , nós obtemos que

f k 0 = - 1 k + 1 ∙ k + 2 ! 2 0 - 1 k + 3 ,     k ∈ N

Desenvolvendo os termos, nós obtemos que

f k 0 = - 1 k + 1 ∙ k + 2 ! 2 ∙ - 1 k + 3 = k + 2 ! 2 - 1 2 = k + 2 ! 2

Agora, nós já podemos obter a série de Maclaurin

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = k + 2 k + 1 2 x k

Resposta

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = k + 2 k + 1 2 x k

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