Enunciado

Calcule a integral indefinida como uma série infinita.

∫ cos ⁡ x - 1 x d x  

Passo 1

Para calcular a integral como uma série, vamos substituir o cos ⁡ x por sua série

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

O primeiro termo da série, quando n = 0 é igual a 1 , então se subtrairmos 1 , basta iniciar a série em um termo depois

cos ⁡ x - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Para achar o termo a ser integrado, basta dividir por x

cos ⁡ x - 1 x = 1 x ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

cos ⁡ x - 1 x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 1 2 n !

Passo 2

Agora para integrar

∫ cos ⁡ x - 1 x d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 1 2 n ! d x  

Podemos colocar a integral dentro do somatório, deixando somente o que tem x dentro da integral.

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! ∫ x 2 n - 1 d x

Agora, basta integrar, como temos a integral dentro da série, para cada termo temos uma constante de integração que vamos chamar de C n

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! ⋅ x 2 n 2 n + C n  

Mas podemos juntar todas em uma constante só e tirarmos da série, já que na distribuição o que é multiplicando é constante, então digamos que ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! C n   = C

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! ⋅ x 2 n 2 n + C n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! ⋅ x 2 n 2 n   + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! ⋅ C n    

= C + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! ⋅ x 2 n 2 n  

Resposta

C + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n ! ⋅ x 2 n 2 n  

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Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada. ∫ 0 1 cos ⁡ ( x 3 ) d x (três casas decimais)
Encontre a soma da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n n !
Encontre a soma da série. ∑ n = 0 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !
Encontre a soma da série. ∑ n = 0 ∞ 3 n 5 n n !
Use multiplicação ou divisão de séries de potências para encontrar os três primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin de cada função. y = e - x 2 cos ⁡ x