Enunciado

Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada.

2 x + y + 5 z - 1 0 = 0 .

Passo 1

E aí, pessoal!! Bora pra mais um exercício com o Responde Aí? Vem com a gente :D

Pra começarmos esse exercício, precisamos lembrar do conceito de planos. Na seção 2.1 do livro Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis - 1ª Ed., um plano tem a equação:

a ,   b ,   c ∙ x - x 1 ,   y - y 1 ,   z - z 1 = 0

Onde N = a ,   b ,   c é o vetor normal ao plano que passa pelo ponto x 1 , y 1 , z 1 .

Se temos uma equação linear, vamos determinar o traço do gráfico em cada plano coordenado. Em outras palavras, igualando uma variável a zero de cada vez, iremos determinar a equação de uma reta do gráfico que intercepta o plano coordenado.

Assim, se fizermos x = 0 , teremos a equação de uma reta no plano y z . Da mesma forma, fazendo y = 0 e z = 0 teremos equações de retas nos planos x z e x y , respectivamente. Para ajudar nisso, vamos esboçar essas retas.

Passo 2

Então, fazendo primeiro:

x = 0

Temos a equação da reta no plano y z :

y + 5 z - 1 0 = 0

Que pode ser reescrita como:

y + 5 z = 1 0

Agora, para sabermos os pontos em que essa reta cruza, vamos igualar cada variável a zero uma de cada vez.

Dessa forma, para y = 0 :

5 z = 10

Ou seja:

z = 2

Em seguida, fazendo z = 0 :

y = 10

Logo, a reta no plano y z passa pelos pontos 0 ,   0 ,   2 e 0 ,   10 ,   0 .

O esboço para esse caso é:

Passo 3

Analogamente, se fizermos:

y = 0

Conseguimos:

2 x + 5 z - 10 = 0

Então, para x = 0 :

z = 2

Como encontrado anteriormente.

Já para z = 0 :

2 x - 10 = 0

O que resulta em:

2 x = 10

Portanto:

x = 5

Logo, a reta no plano x z passa pelos pontos 0 ,   0 ,   2 e 5 ,   0 ,   0 .

Esboçando, temos:

Passo 4

Por último, fazendo:

z = 0

Conseguimos:

2 x + y - 10 = 0

Então, para x = 0 :

y = 10

E para y = 0 :

x = 5

Logo, a reta no plano x y passa pelos pontos 0 ,   1 0 ,   0 e 5 ,   0 ,   0 .

Esboçando, temos:

Passo 5

Com essas informações, se juntarmos todas as retas em um só esboço tridimensional, conseguimos:

Portanto, o nosso plano é dado pelo esboço:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Descreva e esboce a superfície. z = 4 - x 2
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 3 x - 2 z - 12 = 0 .
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 1 )ax = - 2 ; by = 3 ; cz = 4 .
Nos exercícios 1 a 6 , esboce o gráfico da superfície de equação dada. 2 )ax = 5 ; by = 0 ; cz = - 2 .