Nos Exercícios 19-24, esboce a região de integração e calcule a integral.

∫ 0 π ∫ 0 x x sen ⁡ y d y   d x

Passo 1

Olá pessoal, primeiramente vamos esboçar a nossa região de integração, onde:

Do enunciado temos a seguinte integral:

∫ 0 π ∫ 0 x x sen ⁡ y d y   d x

Vamos, primeiro, derivar em função de y , e sabemos que:

∫ sen ⁡ u d u = - cos ⁡ u

Logo:

= ∫ 0 π x   ∙ - cos ⁡ y 0 x d x

= - ∫ 0 π x   ∙ cos ⁡ y 0 x d x

= - ∫ 0 π x   ∙ cos ⁡ x - cos ⁡ 0 d x

= - ∫ 0 π x   ∙ cos ⁡ x - 1 d x

= - ∫ 0 π x cos ⁡ x - x d x

Passo 2

Para integrarmos a parte x cos ⁡ x , precisamos fazer por partes, ou seja:

∫ f d g = f g - ∫ g d f

Então temos o seguinte f = x                   d g = cos ⁡ x , logo:

d f = d x g = sen ⁡ x

Então:

∫ x cos ⁡ x = x sen ⁡ x - ∫ sen ⁡ x d x

= x sen ⁡ x - - cos ⁡ x

= x sen ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 3

Voltando para integral original:

= - ∫ 0 π x cos ⁡ x - x d x = - x sen ⁡ x + cos ⁡ x - x 2 2 0 π

= - x sen ⁡ x - cos ⁡ x + x 2 2 0 π

= - π sen ⁡ π - cos ⁡ π + π 2 2 - - 0 sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 + 0 2 2

= 0 - - 1 + π 2 2 - 0 - 1 + 0

= 1 + π 2 2 + 1

= π 2 2 + 2

Tchau galerinha, até mais!

Resposta

π 2 2 + 2

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