Enunciado

Nos Exercícios 9-18, escreva a integral iterada de ∬ R   d A sobre a região descrita R utilizando (a) seções transversais verticais, (b) seções transversais horizontais.

Limitada por y = 3 - 2 x , y = x e x = 0 .

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer este exercício juntos!

Como estamos diante da avaliação ∬ R   f x ,   y d A , vamos seguir os três passos a seguir:

  1. Vamos fazer um esboço da região de integração e identificar as curvas limitantes:
  2. Passo 2

  3. Para as retas verticais (item a.) vamos imaginar uma reta vertical L , que corta R na direção de valores de y crescentes. Vamos marcar os valores de y onde L entra e sai de R . E iremos escolher os limites de integração de x que incluam todas as restas verticais através de R :
  4. Sendo assim, utilizando as seções transversais verticais, a região de integração de y :

    x ≤ y ≤ 3 - 2 x

    Já para a região de x , podemos observar que o maior valor de x é quando as linhas se cruzam:

    x = 3 - 2 x

    x = 1

    Logo:

    0 ≤ x ≤ 1

    Passo 3

  5. Para utilizarmos seções transversais horizontais (item b.) vamos utilizar retas horizontais em vez de verticais:

E agora, utilizando as seções transversais horizontais, a região de integração de y :

0 ≤ y ≤ 1

E:

1 ≤ y ≤ 3

E a região de x , vão ter duas para cada curva:

0 ≤ x ≤ y

0 ≤ x ≤ 3 - y 2

Resposta

  1. x ≤ y ≤ 3 - 2 x ,
  2. 0 ≤ x ≤ 1 .

  3. 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ y ∪ 1 ≤ y ≤ 3 , 0 ≤ x ≤ 3 - y 2 .

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Avalie a integral:int_0^8 int_(root(3)(x))^2 (1)/(y^4 + 1) d y d x
Encontre a area da regiao delimitada pela reta y = 2x + 4 e a parabola y = 4 - x 2 no plano xy.
Encontre a área da regiao “triangular” no plano xy que e delimitada a direita pela Parábola y = x 2 , a esquerda pela reta x + y = 2 e acima pela reta y = 4.
Encontre o volume sob o cilindro parabolico z = x 2 acima da região delimitada pela parabola y = 6 - x 2 e a reta y = x no plano xy.
Encontre o volume sob o paraboloide z = x 2 + y 2 acima do triangulo delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.