Enunciado

Nos Exercícios 9-18, escreva a integral iterada de ∬ R   d A sobre a região descrita R utilizando (a) seções transversais verticais, (b) seções transversais horizontais.

Limitada por y = x 2 e y = x + 2 .

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá fazer este exercício juntos!

Como estamos diante da avaliação ∬ R   f x ,   y d A , vamos seguir os três passos a seguir:

  1. Vamos fazer um esboço da região de integração e identificar as curvas limitantes:
  2. Passo 2

  3. Para as retas verticais (item a.) vamos imaginar uma reta vertical L , que corta R na direção de valores de y crescentes. Vamos marcar os valores de y onde L entra e sai de R . E iremos escolher os limites de integração de x que incluam todas as restas verticais através de R :
  4. Sendo assim, utilizando as seções transversais verticais, a região de integração de y :

    x 2 ≤ y ≤ x + 2

    Já para a região de x , podemos observar que o menor e o maior valor de x é quando as curvas se cruzam, ou seja

    x 2 = x + 2

    x 2 - x - 2 = 0

    Resolvendo essa equação de 2° grau:

    ∆ = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ∙ - 2 = 9

    x = - b ± ∆ 2 a = 1 ± 3 2

    x ' = - 1 x ' ' = 2    

    Logo:

    - 1 ≤ x ≤ 2

    Passo 3

  5. Para utilizarmos seções transversais horizontais (item b.) vamos utilizar retas horizontais em vez de verticais:

E agora, utilizando as seções transversais horizontais, a região de integração de y :

0 ≤ y ≤ 2

E a região de x :

y - 2 ≤ x ≤ y

Até mais galerinha!!

Resposta

  1. x 2 ≤ y ≤ x + 2 ,
  2. 0 ≤ x ≤ 1 .

  3. 0 ≤ y ≤ 2 ,

y - 2 ≤ x ≤ y .

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