Enunciado

Nos Exercícios 53-60, esboce uma superfície de nível típica para a função.

f x ,   y ,   z = l n l n   x 2 + y 2 + z 2  

Passo 1

Oi galerinha, tudo bem com vocês? Vamos fazer esse exercício juntos?! Então, vem comigo!

No plano, os pontos onde uma função de duas variáveis independentes tem um valor constante f x ,   y = c formam uma curva no domínio da função. No espaço, os pontos onde uma função de três variáveis independentes tem um valor constante f x ,   y ,   z = c formam uma superfície no domínio da função.

O conjunto de pontos x ,   y ,   z no espaço onde uma função de três variáveis independentes tem um valor constante f x ,   y ,   z = c é chamado superfície de nível de f .

No nosso exercício, temos a seguinte equação:

f x ,   y ,   z = l n l n   x 2 + y 2 + z 2  

O valor de f é a distância entre a origem e o ponto x ,   y ,   z .

É muito difícil visualizar uma função f de três variáveis por seu gráfico, uma vez que estaríamos em um espaço de quatro dimensões. Entretanto, conseguimos uma ideia de f desenhando suas superfícies de nível, que são as superfícies com equação f x ,   y ,   z = c , onde c é uma constante. Se um ponto x ,   y ,   z se move ao longo de uma superfície de nível, o valor de f x ,   y ,   z permanece fixo.

Passo 2

Então, se considerarmos que c = 0 , temos:

l n l n   x 2 + y 2 + z 2   = 0

Se aplicarmos exponencial de ambos os lados:

e l n l n   x 2 + y 2 + z 2   = e 0

Temos a equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Gerando a Figura de uma esfera:

Tchau galerinha!

Resposta

Resposta no Passo 2.

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Esboce o gráfico da função.f (x , y) = 1 + y