Enunciado

Os Exercícios 9-12 fornecem os focos ou vértices e as excentricidades das elipses centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, encontre a equação de forma padrão da elipse nas coordenadas cartesianas.

Vértices: ( ± 10,0 )

Excentricidade: 0 , 24

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será reescrever a equação da elipse dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A partir disso, teremos a excentricidade e os focos. Para, determinarmos a as coordenadas dos eixos a e b   e construirmos a equação da elipse.

Simbora?

Passo 2

Como nos foi dado os vértices ( ± 10,0 ) sabemos que os vértices da elipse são dados por ( ± a , 0 ) , portanto, temos que:

a   = 1 0

Sendo a excentricidade da elipse dada por e = c a   , com os valore de e = 0 , 24 e a   = 1 0 obtemos:

0 , 24 = c 1 0 ⟹ c = 0 , 24 ∙ 1 0 = 2,4

Por fim, através do Teorema de Pitágoras, temos que:

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b 2 = 1 0 2 - 2,4 2 = 1 0 0 - 5,76 = 94,24

Vale lembrar que os focos ficam no eixo maior, que nesse caso é o eixo x. Logo, a equação da elipse terá o seguinte formato:

x 2 100 + y 2 94,24 = 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x 2 100 + y 2 94,24 = 1 .

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