Enunciado

Os Exercícios 13-16 fornecem os focos e as diretrizes correspondentes das elipses centradas na origem do plano xy. Em cada um dos casos, utilize as dimensões na Figura 11.45 para encontrar a excentricidade da elipse. Em seguida, encontre a equação de forma padrão da elipse nas coordenadas cartesianas.

Foco: ( 4 , 0 )

Diretriz: x = 16 3

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será reescrever a equação da elipse dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A partir disso, teremos o foco e a diretriz. Para, determinarmos a as coordenadas dos eixos a e b   e construirmos a equação da elipse.

Simbora?

Passo 2

Como nos foi dado o foco ( 4 , 0 ) e sabemos que os focos da elipse são dados por ( ± c , 0 ) , portanto, temos que:

c   = 4

Sendo a excentricidade da elipse dada por e = c a   , com o valor de c   = 4 obtemos:

e = c a ⟹ a e = c = 4

Da equação da diretriz temos que:

x = a e = 16 3  

Multiplicando ambos termos da fração a e por e , temos:

a e e ² = 16 3   ⟹ 4 e 2 = 16 3 ⟹ e 2 = 12 16 = 3 4 ⇒ e = 3 2  

Como, e = c a , então:

e = c a ⇒ 3 2 = 4 a ⇒ a = 8 3 = 8 3 3

Por fim, através do Teorema de Pitágoras, temos que:

a 2 = b 2 + c 2 ⇒ b 2 = 8 3 3 2 - 4 2 = 64 3 - 16 = 16 3

Vale lembrar que os focos ficam no eixo maior, que nesse caso é o eixo x. Logo, a equação da elipse terá o seguinte formato:

x 2 64 3 + y 2 16 3 = 1

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x 2 64 3 + y 2 16 3 = 1 .

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