Enunciado

Nos Exercícios 1-6, dê as posições s   =   f t de um corpo que se desloca em um eixo, sendo s dado em metros e t em segundos.

  1. Determine o deslocamento do corpo e a velocidade média para o intervalo dado.
  2. Determine o módulo de velocidade e a aceleração do corpo nas extremidades do intervalo.
  3. Quando, se de fato acontece, o corpo muda de direção durante o intervalo?

s = t 4 4 - t 3 + t 2 ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Na letra a.) o exercício pede para determinamos o deslocamento do corpo e a velocidade méida. Para determinar o deslocamento precisamos calcular o ∆ s que é igual a:

∆ s = s t f - s t 0

Como o intervalo foi de 0 ≤ t ≤ 3 ,

∆ s = s 3 - s 0

∆ s = 3 4 4 - 3 3 + 3 2 - 0 4 4 - 0 3 + 0 2

∆ s = 81 4 - 27 + 9

∆ s = 9 4   m

Já a velocidade média é calculada a partir do deslocamento do corpo pela tempo decorrido:

v m = ∆ s ∆ t = 9 4 3 = 3 4   m / s

Passo 2

Na letra b.) é pedido o módulo de velocidade e a aceleração do corpo nas extremidades do intervalo. Como a velocidade é a variação do espaço pelo tempo, velocidade é a derivada de ordem 1 da função s t .

v t = t 4 4 - t 3 + t 2 '

v t = 4 t 4 - 1 4 - 3 t 3 - 1 + 2 t 2 - 1

v t = t 3 - 3 t 2 + 2 t

Como ele quer o módulo nas extremidades do intervalo:

v 0 = 0 3 - 3 ∙ 0 2 + 2 ∙ 0 = 0   m / s

v 3 = 3 3 - 3 ∙ 3 2 + 2 ∙ 3 = 6   m / s

A aceleração é a variação da velocidade pelo tempo decorrido, então a aceleração é a segunda derivada da função s t :

a t = t 3 - 3 t 2 + 2 t '

a t = 3 t 3 - 1 - 3 ∙ 2 t 2 - 1 + 2 t 1 - 1

a t = 3 t 2 - 6 t + 2   m / s 2

Como o exercício pede a aceleração nas extremidades do intervalo:

a 0 = 3 ∙ 0 2 - 6 ∙ 0 + 2 = 2   m / s 2

a 3 = 3 ∙ 3 2 - 6 ∙ 3 + 2 = 11   m / s 2

Passo 3

Para resolvermos a letra c.) precisamos lembrar que um corpo muda de direção quando a sua velocidade fica nula. Logo,

v = 0

t 3 - 3 t 2 + 2 t = 0

t t 2 - 3 t + 2 = 0

t 1 = 0   s

t 2 - 3 t + 2 = 0

Utilizando Bhaskara:

t = 3 ± - 3 2 - 4 ∙ ( 1 ) ( 2 ) 2 1

t = 3 ± 9 - 8 2

t = 3 ± 1 2

t = 3 ± 1 2

t 2 = 2   s

t 2 = 1   s

Para facilitar foi feito um esboço do gráfico de velocidade.

Observando o gráfico de v   x   t , é possível observar que v t muda de direção nas três raízes, porém em t = 0 a mudança acontece fora do intervalo estipulado, por isso há mudança de direção em t = 1 e t = 2 .

Resposta

  1. 9 / 4   m ;   3 / 4   m / s
  2. 0 m / s ; 6 m / s ; 2 m / s 2 ; 11 m / s 2
  3. t = 1   s ; t = 2   s  
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