Enunciado

Nos Exercícios 1-6, dê as posições s   =   f t de um corpo que se desloca em um eixo, sendo s dado em metros e t em segundos.

  1. Determine o deslocamento do corpo e a velocidade média para o intervalo dado.
  2. Determine o módulo de velocidade e a aceleração do corpo nas extremidades do intervalo.
  3. Quando, se de fato acontece, o corpo muda de direção durante o intervalo?

s = - t 3 + 3 t 2 - 3 t ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Na letra a.) o exercício pede para determinamos o deslocamento do corpo e a velocidade méida. Para determinar o deslocamento precisamos calcular o ∆ s que é igual a:

∆ s = s t f - s t 0

Como o intervalo foi de 0 ≤ t ≤ 3 ,

∆ s = s 3 - s 0

∆ s = - 3 3 + 3 ∙ 3 2 - 3 ∙ 3 - - 0 3 + 3 ∙ 0 2 - 3 ∙ 0

∆ s = - 27 + 27 - 9

∆ s = - 9   m

Já a velocidade média é calculada a partir do deslocamento do corpo pela tempo decorrido:

v m = ∆ s ∆ t = - 9 3 = - 3   m / s

Passo 2

Na letra b.) é pedido o módulo de velocidade e a aceleração do corpo nas extremidades do intervalo. Como a velocidade é a variação do espaço pelo tempo, velocidade é a derivada de ordem 1 da função s t .

v t = - t 3 + 3 t 2 - 3 t '

v t = - 3 t 3 - 1 + 3 ∙ 2 t 2 - 1 - 3 t 1 - 1

v t = - 3 t 2 + 6 t - 3

Como ele quer o módulo nas extremidades do intervalo:

v 0 = - 3 ∙ 0 2 + 6 ∙ 0 - 3 = 3   m / s

v 3 = - 3 ∙ 3 2 + 6 ∙ 3 - 3 = 12   m / s

A aceleração é a variação da velocidade pelo tempo decorrido, então a aceleração é a segunda derivada da função s t :

a t = - 3 t 2 + 6 t - 3 '

a t = - 3 ∙ 2 t 2 - 1 + 6 t 1 - 1 + 0

a t = - 6 t + 6   m / s 2

Como o exercício pede a aceleração nas extremidades do intervalo:

a 0 = - 6 ∙ 0 + 6 = 6   m / s 2

a 3 = - 6 ∙ 3 + 6 = - 12   m / s 2

Passo 3

Para resolvermos a letra c.) precisamos lembrar que um corpo muda de direção quando a sua velocidade fica nula. Logo,

v = 0

- 3 t 2 + 6 t - 3 = 0

Utilizando Bhaskara:

t = - 6 ± 6 2 - 4 ∙ ( - 3 ) ( - 3 ) 2 - 3

t = - 6 ± 36 - 36 - 6

t = - 6 - 6

t = 1   s

Como temos uma parábola, foi feito o esboço do gráfico de velocidade.

Observando o gráfico de v   x   t , é possível observar que v t é sempre negativo, portanto esse corpo não muda de direção.

Resposta

  1. - 9   m ;   - 3 m / s
  2. 3 m / s ; 12 m / s ; 6 m / s 2 ; - 12 m / s 2
  3. Não muda de direção
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