Enunciado

Nos Exercícios 1-6, dê as posições s   =   f t de um corpo que se desloca em um eixo, sendo s dado em metros e t em segundos.

  1. Determine o deslocamento do corpo e a velocidade média para o intervalo dado.
  2. Determine o módulo de velocidade e a aceleração do corpo nas extremidades do intervalo.
  3. Quando, se de fato acontece, o corpo muda de direção durante o intervalo?

s = 25 t 2 - 5 t ,   1 ≤ t ≤ 5

Passo 1

Na letra a.) o exercício pede para determinamos o deslocamento do corpo e a velocidade méida. Para determinar o deslocamento precisamos calcular o ∆ s que é igual a:

∆ s = s t f - s t 0

Como o intervalo foi de 1 ≤ t ≤ 5 ,

∆ s = s 5 - s 1

∆ s = 25 5 2 - 5 5 - 25 1 2 - 5 1

∆ s = 1 - 1 - 25 + 5

∆ s = - 20   m

Já a velocidade média é calculada a partir do deslocamento do corpo pela tempo decorrido:

v m = ∆ s ∆ t = - 20 4 = - 5   m / s

Passo 2

Na letra b.) é pedido o módulo de velocidade e a aceleração do corpo nas extremidades do intervalo. Como a velocidade é a variação do espaço pelo tempo, velocidade é a derivada de ordem 1 da função s t .

v t = 25 t 2 - 5 t '

v t = 25 ∙ - 2 t - 2 - 1 - 5 - 1 t - 1 - 1

v t = - 50 t - 3 + 5 t - 2

Como ele quer o módulo nas extremidades do intervalo:

v 1 = - 50 1 - 3 + 5 ( 1 ) - 2 = 45   m / s

v 5 = - 50 5 - 3 + 5 ( 5 ) - 2 = 1 / 5   m / s

A aceleração é a variação da velocidade pelo tempo decorrido, então a aceleração é a segunda derivada da função s t :

a t = - 50 t - 3 + 5 t - 2 '

a t = - 50 - 3 t - 3 - 1 + 5 ( - 2 ) t - 2 - 1

a t = 150 t - 4 - 10 t - 3   m / s 2

Como o exercício pede a aceleração nas extremidades do intervalo:

a 1 = 150 ∙ 1 - 4 - 10 ∙ 1 - 3 = 140   m / s 2

a 5 = 150 ∙ 5 - 4 - 10 ∙ 5 - 3 = 4 / 25   m / s 2

Passo 3

Para resolvermos a letra c.) precisamos lembrar que um corpo muda de direção quando a sua velocidade fica nula. Logo,

v = 0

- 50 t - 3 + 5 t - 2 = 0

50 t 3 = 5 t 2

50 = 5 t

t = 10   s

Para facilitar foi feito um esboço do gráfico de velocidade.

Observando o gráfico de v   x   t , é possível observar que v t não muda de direção em t = 10   s e esse tempo também nem está dentro do intervalo.

Resposta

  1. - 20   m ;   - 5   m / s
  2. 45 m / s ; 1 / 5 m / s ; 140 m / s 2 ; 4 / 25 m / s 2
  3. Não muda de direção
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