Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

19) lim x → - 2 ⁡ ( x ² - 4 x + 2 ) = - 4 ,     ϵ = 0,0 1

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x ² - 4 x + 2 = ( x - 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = x - 2

a = - 2

L = - 4

Sendo assim:

0 < x + 2 < δ

f x + 4 < 0,0 1

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x + 4 | = 0,0 1

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 + 4 = - 0,0 1

f x 2 + 4 = 0,0 1

Resolvendo:

f x 1 = - 4 , 0 1

f x 2 = - 3 , 9 9

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 - 2 = - 4,01

x 1 = - 2,01  

f x 2 = x 1 - 2 = - 3,99

x 2 = - 1,99  

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x + 2 = δ

Para x 1 :

- 2,01 + 2 = 0,0 1

Para x 2 :

- 1,99 + 2 = 0,0 1

Então:

δ = 0,0 1

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x + 4 < 0,0 1

E sabendo que:

f x = x - 2

Podemos substituir:

x - 2 + 4 < 0,0 1

x + 2 < 0,0 1

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 2 < δ

Então:

δ = 0,01

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,01 .

Resposta

  1. δ = 0,0 1
  2. δ = 0,01
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