Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

22) lim x → 4 ⁡ 4 x 2 - 4 x - 3 2 x + 1 = 5 ,     ϵ = 0,00 3

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 4 x 2 - 4 x - 3 2 x + 1 = 4 ( x + 1 2 ) ( x - 3 2 ) 2 x + 1 = ( 2 x + 1 ) ( 2 x - 3 ) 2 x + 1 = 2 x - 3

a = 4

L = 5

Sendo assim:

0 < x - 4 < δ

f x - 5 < 0,00 3

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 5 | = 0,00 3

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 5 = - 0,00 3

f x 2 - 5 = 0,00 3

Resolvendo:

f x 1 = 4,997

f x 2 = 5,003

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = 2 x 1 - 3 = 4,997

x 1 = 3,9985  

f x 2 = 2 x 2 - 3 = 5,003

x 2 = 4,0015  

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x - 4 = δ

Para x 1 :

3,9985 - 4 = 0,00 15

Para x 2 :

4,0015   - 4 = 0,00 15

Então:

δ = 0,00 15

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 5 < 0,00 3

E sabendo que:

f x = 2 x - 3

Podemos substituir:

2 x - 3 - 5 < 0,00 3

2 x - 8 < 0,00 3

2 x - 4 < 0,00 3

x - 4 < 0,0015

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 4 < δ

Então:

δ = 0,0015

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,0015 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

  1. δ = 0,0015
  2. δ = 0,0015
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico possível de uma função f com as propriedades especificadas. (São possíveis muitas soluções diferentes)26.i) f - 1 = 0 , f 0 = 1 ,f ( 1 ) = 0 ii)l im x → - 1 - ⁡ f ( x ) = 0 e lim x →
Modifique o argumento do Exemplo 1 para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico especificado no ponto dado.27.O gráfico de y = x 2 em (-1, 1).
Esboce o gráfico possível de uma função f com as propriedades especificadas. (São possíveis muitas soluções diferentes)22.i) o domínio de f é [-2, 1]ii) f - 2 = f 0 = f 1 = 0 iii) lim x → - 2 + ⁡ f (
Esboce o gráfico possível de uma função f com as propriedades especificadas. (São possíveis muitas soluções diferentes)24.i) o domínio de f é (0, + ∞ )ii) f 1 = 0 iii) o eixo y é uma assíntota vertica
Esboce o gráfico possível de uma função f com as propriedades especificadas. (São possíveis muitas soluções diferentes)25.i) f - 3 = f 0 = f 2 = 0 ii)l im x → - 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞ e lim x → - 2 + ⁡ f