Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

13) lim x → 2 ⁡ ( x 2 - 2 x + 1 ) = 1 ,     ϵ = 0,001

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x 2 - 2 x + 1

a = 2

L = 1

Sendo assim:

0 < x - 2 < δ

f x - 1 < 0,001

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 1 | = 0,001

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 1 = - 0,001

f x 2 - 1 = 0,001

Resolvendo:

f x 1 = 0,999

f x 2 = 1,001

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 ² - 2 x 1 + 1 = 0,999

x 1 ' = 1,9995       o u         x 1 ' ' = 0,0006

f x 2 = x 2 ² - 2 x 1 + 1 = 1,001

x 2 ' = 2,0005         o u           x 2 ' ' = - 0,0005        

Como x tende a 2 os valores de x 1   e x 2 serão:

x 1 = 1,9995

x 2 = 2,0005        

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x - 2 = δ

Para x 1 :

1,9995 - 2 = 0,0005

Para x 2 :

2,0005 - 2 = 0,0005

Então:

δ = 0,0005

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 1 < 0,001

E sabendo que:

f x = x 2 - 2 x + 1

Podemos substituir:

x 2 - 2 x + 1 - 1 < 0,001

x ² - 2 x < 0,001

( x ) ( x - 2 ) < 0,001

Pela definição de módulo:

x | | ( x - 2 ) < 0,001

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 2 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo x . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x - 2 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x - 2 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a x somando 2 aos seus termos:

1 < x < 3

Então:

| x | < 3

Sendo assim,

x | | ( x - 2 ) = x - 2 . 3 < 0,001

x - 2 < 1 3000

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 1 3000 .

Resposta

  1. δ = 0,0005
  2. δ = 1 3000
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