Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

17) lim x → - 2 ⁡ ( 2 x 2 + 5 x + 3 ) = 1 ,     ϵ = 0,004

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 2 x 2 + 5 x + 3

a = - 2

L = 1

Sendo assim:

0 < x + 2 < δ

f x - 1 < 0,004

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 1 | = 0,004

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 1 = - 0,004

f x 2 - 1 = 0,004

Resolvendo:

f x 1 = 0,996

f x 2 = 1,004

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = 2 x 1 ² + 5 x 1 + 3 = 0,996

x 1 ' = - 1,9987       o u         x 1 ' ' = - 0,5013

f x 2 = 2 x 2 ² + 5 x 2 + 3 = 1,004

x 2 ' = - 0,4987         o u           x 2 ' ' = - 2,0013        

Como x tende a 2 os valores de x 1   e x 2 serão:

x 1 = - 1,9987      

x 2 = - 2,0013          

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x + 2 = δ

Para x 1 :

- 1,9987 + 2 = 0,001 3

Para x 2 :

- 2,0013 + 2 = 0,001 3

Então:

δ = 0,001 3

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 1 < 0,00 4

E sabendo que:

f x = 2 x 2 + 5 x + 3

Podemos substituir:

2 x 2 + 5 x + 3 - 1 < 0,00 4

2 x 2 + 5 x + 2 < 0,00 4

Fatorando a equação de segundo grau:

2 ( x + 2 ) ( x + 1 2 ) < 0,00 4

Pela definição de módulo:

x + 2 | | ( 2 x + 1 ) < 0,00 4

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 2 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo 2 x + 1 . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x + 2 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x + 2 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( 2 x + 1 ) multiplicando todos os termos por 2 e subtraindo 3:

- 5 < 2 x + 1 < - 1

Usando as propriedades de módulo, no caso de intervalos negativos:

| - 1 | < | 2 x + 1 | < | - 5 |

3 < | 2 x + 1 | < 5

Então:

| 2 x + 1 | < 5

Sendo assim,

x + 2 | | ( 2 x + 1 ) = x + 2 . 5 < 0,00 4

x + 2 < 0,0008

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,0008 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

  1. δ = 0,0013
  2. δ = 0,0008
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