Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

16) lim x → 3 ⁡ ( x 2 - x - 6 ) = 0 ,     ϵ = 0,005

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x 2 - x - 6

a = 3

L = 0

Sendo assim:

0 < x - 3 < δ

f x < 0,005

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x | = 0,005

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 = - 0,005

f x 2 = 0,005

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 ² - x 1 - 6 = - 0,005

x 1 ' = 2,999       o u         x 1 ' ' = - 1,999

f x 2 = x 2 ² - x 2 - 6 = 0,005

x 2 ' = 3,001         o u           x 2 ' ' = - 2,001        

Como x tende a 3 os valores de x 1   e x 2 serão:

x 1 = 2,999            

x 2 = 3,001          

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x - 3 = δ

Para x 1 :

2,999 - 3 = 0,001

Para x 2 :

3,001 - 3 = 0,001

Então:

δ = 0,001

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x < 0,005

E sabendo que:

f x = x 2 - x - 6

Podemos substituir:

x 2 - x - 6 < 0,005

Fatorando a equação de segundo grau:

( x + 2 ) ( x - 3 ) < 0,005

Pela definição de módulo:

x + 2 | | ( x - 3 ) < 0,005

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 3 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo x + 2 . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x - 3 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x - 3 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + 2 ) somando 5 aos seus termos:

4 < x + 2 < 6

Então:

| x + 2 | < 6

Sendo assim,

x + 2 | | ( x - 3 ) = x - 3 . 6 < 0,005

x - 3 < 1 12 00

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 1 1200 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

  1. δ = 0,00 1
  2. δ = 1 1200
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os limites.9. lim x → - 1 ⁡ x 2 + 6 x + 5 x 2 - 3 x - 4
Encontre os limites.4. lim x → 3 ⁡ x 3 - 3 x 2 + 9 x
Encontre os limites.5. lim x → 3 ⁡ x 2 - 2 x x + 1
Encontre os limites.10. lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x + 4 x 2 + x - 6
Encontre os limites.11. lim x → - 1 ⁡ 2 x 2 + x - 1 x + 1