Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

14) lim x → - 1 ⁡ ( x 2 + 4 x + 4 ) = 1 ,     ϵ = 0,002

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x 2 + 4 x + 4

a = - 1

L = 1

Sendo assim:

0 < x + 1 < δ

f x - 1 < 0,002

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 1 | = 0,002

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 1 = - 0,002

f x 2 - 1 = 0,002

Resolvendo:

f x 1 = 0,998

f x 2 = 1,002

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = x 1 ² + 4 x 1 + 4 = 0,998

x 1 ' = - 1,001       o u         x 1 ' ' = - 2,9989

f x 2 = x 2 ² + 4 x 2 + 4 = 1,002

x 2 ' = - 0,999         o u           x 2 ' ' = - 3,001        

Como x tende a 2 os valores de x 1   e x 2 serão:

x 1 = - 1,001      

x 2 = - 0,999          

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x + 1 = δ

Para x 1 :

- 1,001 + 1 = 0,001

Para x 2 :

- 0,999 + 1 = 0,001

Então:

δ = 0,001

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 1 < 0,002

E sabendo que:

f x = x 2 + 4 x + 4

Podemos substituir:

x 2 + 4 x + 4 - 1 < 0,002

x ² + 4 x + 3 < 0,002

Fatorando a equação de segundo grau:

( x + 1 ) ( x + 3 ) < 0,002

Pela definição de módulo:

x + 1 | | ( x + 3 ) < 0,002

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 1 < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo x + 3 . Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x + 1 < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x + 1 < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + 3 ) somando 2 aos seus termos:

1 < x + 3 < 3

Então:

| x + 3 | < 3

Sendo assim,

x + 3 | | ( x + 1 ) = x + 1 . 3 < 0,00 2

x + 1 < 1 15 00

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 1 15 00 .

Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o δ pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.

Resposta

  1. δ = 0,00 1
  2. δ = 1 1500
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