Enunciado

Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

Dado qualquer inteiro positivo n

1 3 + 2 3 + … + n 3 = 1 + 2 + … + n 2

Passo 1

Pelo teorema 5.4.2, a gente tem o seguinte:

∑ k = 1 n k = n n + 1 2

e

∑ k = 1 n k 3 = n n + 1 2 2

Ou seja, o somatório dos cubos dos números é o quadrado da soma dos números (confuso né?)...

E aí pensa o seguinte: sem a fórmula, o somatório dos números seria: 1 + 2 + … + n , certo?

E dos cubos dos números seria: 1 3 + 2 3 + … + n 3 .

Sendo assim, juntando essas duas partes do teorema, a gente conclui que:

1 3 + 2 3 + … + n 3 = 1 + 2 + … + n 2

Ou seja, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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