Determine dy/dx :

y = ∫ 2 7 x 2 2 + cos 3 ⁡ t   d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas 7 x 2 . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = ∫ 1 u 2 + cos 3 ⁡ t     d t                                     e                                               u = 7 x 2

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' ( x ) = d y d x = d d x ∫ 2 u 2 + cos 3 ⁡ t   d t × d u d x = 2 + cos 3 ⁡ u × 14 x = 14 x   2 + cos 3 ⁡ ( 7 x 2 )

Resposta

14 x   2 + cos 3 ⁡ ( 7 x 2 )

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