Enunciado

Determine uma função φ : R → R , contínua, tal que para todo x

φ ( x ) = 1 + ∫ 0 x t φ ( t ) d t

Passo 1

O teorema fundamental do cálculo nos dá,

F ' ( x ) = ∫ 1 x f ( t ) d t = f ( x )

Passo 2

Agora reescrevemos o proposto no enunciado, a fim de aplicar o teorema fundamental do cálculo. Para tanto, devemos isolar a integral e chamar de F ( x )

F ( x ) = ∫ 0 x t φ ( t ) d t = φ ( x ) - 1

Passo 3

Aplicando em nossa questão,

F ' ( x ) = ∫ 0 x t φ ( t ) d t ' = f ( x )

F ' ( x ) = x φ ( x )

Passo 4

Respeitando a manipulação feita no Passo 2, F ' ( x ) também pode ser encontada ao derivar φ ( x ) - 1 . Assim,

F ' ( x ) = φ ( x ) - 1 ' = φ ( x ) ' - 0 = φ ( x ) '

Passo 5

Igualando os resultados dos passos 3 e 4,

φ ( x ) ' = x φ ( x )

Passo 6

Agora a idéia é encontrar uma função φ ( x ) que valide essa análise.

É nesse momento que vem o macete: quase sempre que a derivada de uma função é alguma coisa multiplicando a própria função, a função provavelmente é uma exponencial.

Assim,

φ ( x ) =   e u

Passo 7

Encontrando o valor de u , finalizou!

φ ( x ) ' = e u '

x φ ( x ) = e u u ’

x = u ’

Assim, sabendo integrar x ,

u = x 2 2

Resposta

φ ( x ) =   e x 2 2

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