Enunciado

Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é derivável em   x 1 .

20. f x = x 2 + 1   s e       x < - 1 1 - x 2     s e - 1 ≤ x                 x 1 = - 1

Letra (b)

Passo 1

Para determinar se f ( x ) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

  1. f ( x 0 ) tem que existir;
  2. lim x → x 0 ⁡ f x   tem que existir;
  3. lim x → x 0 ⁡ f x   = f ( x 0 ) .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f x é continua em x 0 .

Passo 2

Ao substituir x 0   = - 1 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a primeira função, pois a mesma está definida para x 0   = - 1 . Com isso temos que f   - 1 = 0 .

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , lim x → x 0 ⁡ f x   existe se lim x → x 0 + ⁡ f x   = k = lim x → x 0 - ⁡ f x   .

Assim, temos que :

lim x → x 0 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ 1 - x 2 = 0

lim x → x 0 - ⁡ f x = lim x → - 1 - ⁡ x 2 + 1 = 2

Com isso podemos afimar que lim x → x 0 ⁡ f x   não existe.

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

lim x → 0 ⁡ f x = ∄  

Com isso, como os 3 itens necessários não foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é não continua em x0 = -1.

Resposta

f (x) não é continua em x0 = -1.

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29. Dada f x = x 2 - 7 , s e0x ≤ b 6 x , s ex ≥ b Determine um valor de b para o qual f é contínua em b. f é derivável em b encontrado na parte (a) ?Letra (b)
31. Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 2 se f x = a x + b , s ex2 2 x 2 - 1 , s ex ≥ 2
30. Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 1 se f x = x 2 , s ex1 a x + b , s ex ≥ 1