Enunciado

30. Ache os valores de a e b tais que f seja derivável em 1 se

f x = x 2 ,     s e   x < 1 a x + b ,     s e   x ≥ 1

Passo 1

Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se ambas existirem e forem iguais.

Na questão ele nos pede para encontrarmos duas constantes, a e b, para que f(x) seja derivável em x1 = 1. Porém, para provar isso devemos determinar a derivada à esquerda e à direita de f (x) em x1 = 1, para vê se a condição para que ela seja derivável é aceita.

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

Passo 2

A derivada à esquerda de f(X) em x1 = 1 será:

Passo 3

A derivada à direita de f(X) em x1 = 1 será :

Logo, para que f seja derivável a sua derivada à esquerda deve ser igual a derivada à direita. Com isso temos que a = 2. Como 1 = a + b, vêm que b = -1.

Resposta

a = 2 e b = -1.

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