Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 10.6 - Ex. 40

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Nos exercicos de 37 a 52, ache os pontos de intersecção dos gráficos do par de equações dadas. Faça um esboço de cada par de gráfico com o mesmo eixo polar e a mesma origem.

r = 2 cos ⁡ 2 θ r = 2   sen ⁡ θ

Passo 1

O que o enunciado nos pede é para determinarmos os pontos de intersecção e depois fazer o esboço. Para determinar os pontos de intersecção basta igualar ou substituir um valor de r de uma equação na outra. A partir disso encontraremos o valor de dois ângulos que representarão os pontos que ele nos pede. Para elaborar o esboço, pode-se utilizar o programa de computador onde será mais fácil a visualização dos pontos de intersecção.

Passo 2

Fazendo as devidas substituição dos valores de r temos:

2 c o s 2 θ = 2 s e n θ  

s e n θ   = c o s 2 θ  

s e n θ = 1 - 2 s e n 2 θ

2 s e n 2 θ + s e n θ - 1 = 0

Fazendo u = s e n θ , vem:

2 u 2 + u - 1 = 0

Após resolvermos a equação de seguno grau obtemos u = 1 2   e   u = - 1 . Como u = s e n θ , temos que :

s e n θ = 1 2   e   s e n θ = - 1

Assim, θ = π 6 e   θ = 2 π 3 ; θ = 3 π 2 e   θ = 7 π 2 dando os pontos 1 , π 6 e   1 ,   2 π 3 ;   1 , 3 π 2 e   1 ,   7 π 2  

Passo 3

O esboço de cada par de gráfico com o mesmo eixo polar e a mesma origem é o seguinte:

Resposta

Parte 1     1 , π 6 e   1 ,   2 π 3 ;   1 , 3 π 2 e   1 ,   7 π 2  

Parte 2

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