Enunciado

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Nos exercícios de 17 a 21, ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.

r = 2   s e n   θ r = s e n θ + cos ⁡ θ )

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área interior à uma equação e exterior à outra. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar qual é a região que ele quer saber a área, descobrir os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ .

Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região interior à uma curva e exterior a outra dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

tomamos os limites de θ de π 4 até π

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ = 1 2 . ∫ π 4 π 2 s e n θ 2 - s e n θ + c o s θ 2 d θ =

= 1 2 . ∫ π 4 π 4 s e n 2 θ - [ s e n 2 θ + 2 s e n θ c o s θ + cos 2 ⁡ θ d θ =

= 1 2 . ∫ π 4 π 4 s e n 2 θ - [ 2 s e n θ c o s θ + 1 d θ = = 1 2 . ∫ π 4 π 4 s e n 2 θ - s e n 2 θ - 1 d θ

= 1 2 . ∫ π 4 π 4 . 1 2 1 - c o s 2 θ - s e n 2 θ - 1 d θ

1 2 2 θ - 1 2 s e n 2 θ - 1 2 - c o s θ - θ π 4 π = 1 2   [ 2 π - 0 + 1 2 - 1 - π - 2 π 4 - 1 2 + 2 2 - π 4

= 2 3 π 4 - 1 - 2 2

Resposta

A = 2 3 π 4 - 1 - 2 2

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